Глаголы offer и suggest часто переводятся на русский как «предлагать», поэтому их легко перепутать. Оба связаны с идеей предложения, но используются немного по-разному. Разница не всегда очевидна на первый взгляд, однако в живой речи она чувствуется довольно ясно

Проще всего запомнить так: Offer — это когда вы предлагаете что-то конкретное, часто свою помощь, услугу или возможность. Suggest — это когда вы высказываете идею или совет

Offer

Глагол offer используется, когда человек предлагает что-то сделать или дать. Часто речь идет о помощи, работе, скидке, услуге или каком-то действии со стороны говорящего. То есть вы не просто озвучиваете мысль — вы готовы что-то предоставить или сделать

Типичная конструкция — offer to do something

Примеры:

I offered to help her with her homework — Я предложил помочь ей с домашним заданием 
They offered us a discount on the product — Они предложили нам скидку на продукт 
She offered to drive me home — Она предложила подвезти меня домой 

Suggest

Глагол suggest работает немного иначе. Он используется, когда человек высказывает идею, совет или возможный вариант. Вы не обязательно собираетесь что-то делать сами — вы просто предлагаете мысль, которую можно обсудить или рассмотреть

Часто после suggest используется форма -ing или конструкция that + предложение

Примеры:

She suggested a new approach to solving the problem — Она предложила новый подход к решению проблемы 
I suggest that we postpone the meeting until next week — Я предлагаю отложить встречу до следующей недели 
My friend suggested trying a different restaurant — Мой друг предложил попробовать другой ресторан 

Простое правило

Если сильно упростить, можно держать в голове такую разницу

offer — предложить что-то сделать или дать
suggest — предложить идею

Например:

I offered to help — Я предложил помочь 
I suggested calling him — Я предложил позвонить ему

В обоих случаях перевод похожий, но смысл немного разный. В первом случае вы сами предлагаете помощь, а во втором просто озвучиваете идею